1. Hàm trùng phương là gì?

Hàm trùng phương là một trong những hàm số mà học viên rất thường gặp. Hàm trùng phương là dạng đặc biệt quan trọng của hàm số bậc 4, thường được quy về hàm số bậc 2 để giải phương trình .

Hàm số trùng phương là hàm có dạng như sau:

USD y = ax ^ { 4 } + bx ^ { 2 } + c USD ( với $ a \ neq 0 $ )
Để tìm được cực trị hàm bậc 4 trùng phương, ta sẽ quy về phương trình bậc 2 để giải phương trình tìm cực trị .

2. Điều kiện hàm trùng phương có 3 cực trị, 1 cực trị

Để hàm trùng phương có 3 cực trị và 1 cực trị, ta sẽ có các điều kiện kèm theo như sau :
Cho hàm số : USD y = ax ^ { 4 } + bx ^ { 2 } + c USD ( với $ a \ neq 0 $ )

$\Rightarrow y’=4ax^{3}+2bx, y = 0$ suy ra:

3. Công thức giải nhanh cực trị của hàm số trùng phương

Để hoàn toàn có thể vận dụng công thức và giải nhanh bài tập cực trị hàm trùng phương, các em cần nắm rõ các đặc thù sau đây :

3.1. Tính chất 1 : 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Cho hàm số USD y = ax ^ { 4 } + bx ^ { 2 } + c USD ( với $ a \ neq 0 USD ) có đồ thị ( C )
USD \ Rightarrow y ‘ = 4 ax ^ { 3 } + 2 bx, y = 0 USD suy ra :

Đồ thị ( C ) có 3 điểm cực trị nên y ’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
USD \ Leftrightarrow \ frac { – b } { 2 a } > 0 USD
Để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân ta có công thức tính nhanh :
USD b ^ { 3 } = – 8 a USD

3.2. Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Cho hàm số :
USD y = ax ^ { 4 } + bx ^ { 2 } + c USD ( với $ a \ neq 0 USD ) có đồ thị ©
USD \ Rightarrow y ‘ = 4 ax ^ { 3 } + 2 bx USD
y = 0 suy ra :

Để 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều, ta có công thức tính nhanh là :
USD b ^ { 3 } = – 24 a USD

4. Một số bài tập về cực trị hàm trùng phương

Các bạn học viên đã được biết về điều kiện kèm theo để hàm trùng phương có 3 cực trị, 1 cực trị và công thức cực trị hàm trùng phương. Dưới đây là 1 số ít bài tập vận dụng dạng toán này giúp các em hiểu bài hơn .

Bài 1: Tìm giá trị tham số m để ĐTHS $y=x^{4}-2(m+1)x^{2}+m^{2}$ (với m là tham số thực) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác vuông.

Giải :
USD y ‘ = 4 x ^ { 3 } – 4 ( m + 1 ) x USD

Hàm số có 3 cực trị USD m + 1 > 0 \ Rightarrow m > – 1 USD
Lúc này đồ thị có 3 điểm cực trị :
USD A ( 0 ; m ^ { 2 } ), B ( – \ sqrt { m + 1 } ; – 2 m – 1 ) ; C ( \ sqrt { m + 1 } ; – 2 m – 1 ) USD
Có : B và C đối xứng nhau qua Oy, A ∈ Oy nên ∆ ABC cân tại A nghĩa là AB = AC nên tam giác chỉ vuông cân tại A .
Theo định lý Pitago ta có :
USD AB ^ { 2 } + AC ^ { 2 } = BC ^ { 2 } \ Leftrightarrow ( m + 1 ) [ ( m + 1 ) ^ { 3 } – 1 ] = 0 USD
USD \ Rightarrow ( m + 1 ) ^ { 3 } – 1 = 0 \ Rightarrow m = 0 $ ( do m > – 1 )

Bài 2: Cho $y=x^{4}-2mx^{2}+m-1$, (m là tham số thực). Hãy xác định các giá trị của m để hàm số có 3 cực trị và các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 1.

Giải:Đạo hàm $y’=4x^{3}-4mx=4x(x^{2}-m)=0$ 

Hàm số có 3 điểm cực trị
USD \ Leftrightarrow USD Có : phương trình y ‘ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y ‘ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó $ \ Leftrightarrow $ m > 0
Khi đó 3 điểm cực trị của ĐTHS là :
USD A ( 0 ; m-1 ), B ( – \ sqrt { m } ; – m ^ { 2 } + m-1 ), C ( \ sqrt { m } ; – m ^ { 2 } + m-1 ) USD
USD S_ { \ bigtriangleup ABC } = \ frac { 1 } { 2 } \ left | y_ { B } – y_ { A } \ right |. \ left | x_ { C } – x_ { B } \ right | = m ^ { 2 } \ sqrt { m } ; AB = AC = \ sqrt { m ^ { 2 } + m }, BC = 2 \ sqrt { m } USD
Bán kính đường tròn ngoại tiếp :

$R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{\Delta ABCABC}}=1 \Leftrightarrow \frac{(m^{4}+m)\sqrt{m}}{4m^{2}\sqrt{m}}=1 \Leftrightarrow m^{3}-2m+1=0$

Bài 3: Cho hàm số $y=x^{4}-8m^{2}x^{2}+1$ (m là tham số thực). Tìm m để hàm số có diện tích tam giác ABC bằng 64 và có 3 cực trị A,B,C.

Giải :
USD y ‘ = 4 x ^ { 3 } – 16 m ^ { 2 } x = 4 x ( x ^ { 2 } – 4 m ^ { 2 } ) USD
Để hàm số có 3 cực trị là y ‘ = 0 và có ba nghiệm phân biệt
USD \ Leftrightarrow $ Phương trình USD g ( x ) = x ^ { 2 } – 4 m ^ { 2 } = 0 $ có 2 nghiệm phân biệt USD x \ neq 0 \ Leftrightarrow m \ neq 0 USD

$y’=0\Leftrightarrow$ 

Ta có 3 điểm cực trị là : USD A ( 0 ; 1 ) ; B ( 2 m ; 1-16 m ^ { 4 } ) ; C ( – 2 m ; 1-16 m ^ { 4 } ) USD
Ta thấy $ AB = AC = \ sqrt { ( 2 m ) ^ { 2 } + ( 16 m ^ { 4 } ) ^ { 2 } } $ suy ra tam giác ABC cân tại A .
I là trung điểm của BC thì USD I ( 0 ; 1-16 m ^ { 4 } ) USD nên USD AI = 16 m ^ { 4 } USD ; BC = 4 | m |
USD S_ { \ Delta ABC } = \ frac { 1 } { 2 } AI.BC = \ frac { 1 } { 2 } 16 m ^ { 4 }. 4 \ left | m \ right | = 64 \ Leftrightarrow \ left | m ^ { 5 } \ right | = 2 \ Leftrightarrow m = \ pm \ sqrt [ 5 ] { 2 } $ ( thỏa mãn nhu cầu USD m \ neq 0 USD ) .
Vậy USD m = \ pm \ sqrt [ 5 ] { 2 } $ là giá trị cần tìm .

Bài 4: Cho hàm số $y=x^{4}-2(1-m^{2})x^{2}+m+1$. Tìm m để hàm số có cực tiểu, cực đại và điểm cực trị của đồ thị hàm số lập được thành tam giác có diện tích S lớn nhất.

Giải :

Ta có $y’=4x^{3}-4(1-m^{2})x,y’=0 \Leftrightarrow$ 

Để hàm số có cực lớn, cực tiểu chỉ khi | m | < 1 Tọa độ điểm cực trị : USD A ( 0 ; m + 1 ) ; B ( \ sqrt { 1 - m ^ { 2 } } ; - m ^ { 4 } + 2 m ^ { 2 } + m ) ; C ( - \ sqrt { 1 - m ^ { 2 } } ; - m ^ { 4 } + 2 m ^ { 2 } + m ) USD Ta có $ S_ { \ Delta ABC } = \ frac { 1 } { 2 }. BC.d ( A ; BC ) = \ sqrt { 1 - m ^ { 2 } } \ left | m ^ { 4 } - m ^ { 2 } + 1 \ right | = \ sqrt { ( 1 - m ^ { 2 } ) ^ { 5 } } \ leq 1 USD USD \ Rightarrow S_ { max } \ Leftrightarrow m = 0 USD Vậy m = 0 là giá trị cần tìm .

Bài 5: Cho hàm số $y=x^{4}+2mx^{2}+m^{2}+m$. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng $120^{\circ}$

Giải :
Ta có USD y ‘ = 4 x ^ { 3 } + 4 mx ; y ‘ = 0 \ Leftrightarrow 4 x ( x ^ { 2 } + m ) = 0 USD

$\Leftrightarrow$

Gọi USD A ( 0 ; m ^ { 2 } + m ) ; B ( \ sqrt { m } ; m ) ; C ( – \ sqrt { m } ; m ) USD là các điểm cực trị
USD \ overline { AB } = ( – m ; – m ^ { 2 } ) ; \ overline { AC } = ( – \ sqrt { – m } ; – m ^ { 2 } ) USD. $ \ Delta ABC $ cân tại A nên góc USD 120 ^ { \ circ } $ chính là A .
$ \ hat { A } = 120 ^ { \ circ } \ Leftrightarrow cos A = \ frac { – 1 } { 2 } \ Leftrightarrow \ frac { \ overline { ABAC } } { \ left | \ overline { AB } \ right | \ left | \ overline { AC } \ right | } = – \ frac { 1 } { 2 } \ Leftrightarrow \ frac { – \ sqrt { – m }. \ sqrt { – m } + m ^ { 4 } } { m ^ { 4 } – m } = \ frac { – 1 } { 2 } $

$\Leftrightarrow \frac{m+m^{4}}{m^{4}-m}=\frac{-1}{2} \Rightarrow 2m+2m^{4}=m-m^{4}\Leftrightarrow 3m^{4}+m=0$

USD \ Leftrightarrow m = – \ frac { 1 } { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } $ hoặc m = 0 ( loại )
Vậy USD m = – \ frac { 1 } { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } $ là giá trị cần tìm .
Sau bài viết, kỳ vọng các em học viên đã nắm chắc được hàng loạt triết lý và bài tập vận dụng về cực trị hàm trùng phương. Để có thêm nhiều bài giảng hay, các em hoàn toàn có thể truy vấn nền tảng học trực tuyến Vuihoc. vn để ĐK thông tin tài khoản để có được kiến thức và kỹ năng tốt nhất nhé !

Source: https://vinatrade.vn
Category : Công thức cần nhớ