Chào các bạn, hôm này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách tính diện tích của đa giác đều.

Chúng tôi sẽ trình bày công thức tổng quát song song với công thức đặc biệt quan trọng, tương ứng với từng đa giác ( tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều, … )

Việc làm này sẽ giúp các bạn có nhiều lựa chọn hơn khi cần tính diện tích đa giác, cũng như thể hiện được ưu điểm và nhược điểm của từng công thức.

I. Đa giác đều là gì?

Một đa giác được gọi là đa giác đều nếu đa giác thỏa mãn nhu cầu hai điều kiện kèm theo được liệt kê bên dưới …

• Tất cả những cạnh bằng nhau .
• Tất cả những góc bằng nhau .

Tam giác đều, tứ giác đều ( hình vuông vắn ), ngũ giác đều, lục giác đều, …, là những đa giác rất thường gặp trong Toán học cũng như trong trong thực tiễn .

II. Một vài tính chất tiêu biểu của đa giác đều

• Mỗi đa giác đều đều có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp.
• Số đo mỗi góc của n giác đều được tính theo công thức $\frac{(n-2)180^o}{n}$

Ví dụ 1. Tính số đo mỗi góc của tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều và lục giác đều.

Vì tam giác đều có 3 cạnh nên số đo mỗi góc sẽ được tính theo công thức $ \ frac { ( 3-2 ) 180 ^ o } { 3 } = 60 ^ o USD
Vì tam giác đều có 4 cạnh nên số đo mỗi góc sẽ được tính theo công thức $ \ frac { ( 4-2 ) 180 ^ o } { 4 } = 90 ^ o USD
Vì tam giác đều có 5 cạnh nên số đo mỗi góc sẽ được tính theo công thức $ \ frac { ( 5-2 ) 180 ^ o } { 5 } = 108 ^ o USD
Vì tam giác đều có 6 cạnh nên số đo mỗi góc sẽ được tính theo công thức $ \ frac { ( 6-2 ) 180 ^ o } { 6 } = 120 ^ o USD

Chú ý: Bạn nên ghi nhớ độ lớn góc trong của đa giác đều, vì khi biết độ dài một cạnh và độ lớn một góc là bạn đã có thể vẽ được chúng rồi.

• Góc ở tâm của n giác được tính theo công thức $\frac{360}{n}$

III. Trung đoạn là gì? Công thức tính độ dài trung đoạn

Đoạn thẳng nối tâm của đa giác đều với trung điểm một cạnh được gọi là trung đoạn .

Độ dài trung đoạn của n giác với độ dài cạnh a sẽ được tính theo công thức $\frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\alpha}{2}$ (với $\alpha$ là góc ở tâm).

Ví dụ 2. Tính độ dài trung đoạn của tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều và lục giác đều. Biết độ dài mỗi cạnh của mỗi đa giác trên đều trên đều bằng a

• Vì tam giác đều có độ lớn của góc ở tâm là $120^o$ nên độ dài trung đoạn sẽ được tính theo công thức $\frac{a}{2} \cdot \cot \frac{120}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{2}$
• Vì tứ giác đều có độ lớn của góc ở tâm là $90^o$ nên độ dài trung đoạn sẽ được tính theo công thức $\frac{a}{2} \cdot \cot \frac{90}{2}=\frac{a}{2}$
• Vì ngũ giác đều có độ lớn của góc ở tâm là $72^o$ nên độ dài trung đoạn sẽ được tính theo công thức $\frac{a}{2} \cdot \cot \frac{72}{2}=\cot 36 \cdot \frac{a}{2}$
• Vì lục giác đều có độ lớn của góc ở tâm là $60^o$ nên độ dài trung đoạn sẽ được tính theo công thức $\frac{a}{2} \cdot \cot \frac{60}{2}=\sqrt{3} \cdot \frac{a}{2}$

IV. Cách tính diện tích đa giác đều

Tùy thuộc vào giả thuyết của bài toàn đưa ra mà tất cả chúng ta sẽ xem xét và lựa chọn công thức cho tương thích nhất .

Trường hợp #1. Biết độ lớn của góc ở tâm và độ dài cạnh

Diện tích của n giác đều cạnh a và góc ở tâm $\alpha$ sẽ được tính theo công thức $S=\frac{n \cdot a^2}{4}\cdot \cot \frac{\alpha}{2}$

Ví dụ 3. Tính diện tích tam giác đều ABC biết độ dài cạnh $AB=2$

Lời giải :

Cách 1. Áp dụng công thức $S=\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$

USD S = \ frac { 2 ^ 2 \ cdot \ sqrt { 3 } } { 4 } = \ sqrt { 3 } $

Cách 2. Áp dụng công thức $S=\frac{1}{2}.CB.AH$

Chúng ta đã biết độ dài đường cao trong tam giác đều cạnh USD a $ bằng $ \ frac { a \ cdot \ sqrt { 3 } } { 2 } $
Suy ra $ AH = \ frac { 2 \ cdot \ sqrt { 3 } } { 2 } = \ sqrt { 3 } $
Vậy => $ S = \ frac { 1 } { 2 } \ cdot 2 \ cdot \ sqrt { 3 } = \ sqrt { 3 } $

Cách 3. Áp dụng công thức $S=\frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot \frac{\alpha}{2}$

Độ lớn của góc ở tâm của đa giác đều được tính theo công thức $ \ alpha = \ frac { 360 } { n } $
Suy ra $ \ alpha = \ frac { 360 } { 3 } = 120 USD
Vậy => $ S = \ frac { 3 \ cdot 2 ^ 2 } { 4 } \ cdot \ cot \ frac { 120 } { 2 } = \ sqrt { 3 } $

Trường hợp #2. Biết độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác

Diện tích của n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R sẽ được tính theo công thức $S=\frac{n}{2} \cdot R^2 \cdot \sin \frac{360}{n}$

Ví dụ 4. Tính diện tích tứ giác đều ABCD biết độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=3$

Lời giải:

Cách 1. Áp dụng công thức $S=\frac{n}{2} \cdot R^2 \cdot \sin \frac{360}{n}$

Suy ra $ S = \ frac { 4 } { 2 } \ cdot 3 ^ 2 \ cdot \ sin \ frac { 360 } { 4 } = 18 USD

Cách 2. Áp dụng công thức $S=a^2$

Chúng ta đã biết độ dài cạnh của tứ giác đều nội tiếp đường tròn tâm O nửa đường kính R được tính theo công thức $ \ frac { 2 \ cdot R } { \ sqrt { 2 } } $
Suy ra độ dài cạnh của tứ giác đều đã cho là $ \ frac { 2 \ cdot 3 } { \ sqrt { 2 } } = 3 \ sqrt { 2 } $
Vậy => diện tích quy hoạnh của tứ giác đều đã cho bằng USD ( 3 \ sqrt { 2 } ) ^ 2 = 18 USD

Trường hợp #3. Biết độ dài bán kính đường tròn nội tiếp đa giác

Diện tích của n giác đều ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r sẽ được tính theo công thức $S=n \cdot r^2 \cdot \tan \frac{180}{n}$

Ví dụ 5. Tính diện tích ngũ giác đều ABCDE biết độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $r=5$

Lời giải :
Áp dụng công thức $ S = n \ cdot r ^ 2 \ cdot \ tan \ frac { 180 } { n } $
Suy ra USD S = 5 \ cdot 5 ^ 2 \ cdot \ tan \ frac { 180 } { 5 } \ approx 90.8 $
Vậy => diện tích quy hoạnh ngũ giác đều đã cho gần bằng 90.8

Trường hợp #4. Biết độ dài trung đoạn

Diện tích của n giác đều cạnh a trung đoạn d sẽ được tính theo công thức $S=\frac{1}{2} \cdot n \cdot a \cdot d$

Độ dài trung đoạn d sẽ được tính theo các công thức $d=\frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\alpha}{2}=R \cdot \cos \frac{180}{n}=r$

V. Cách tính giá trị lượng giác Cot của một góc bằng máy tính CASIO

Máy tính CASIO fx-580VN X không tương hỗ hàm $ \ cot USD nên tất cả chúng ta không hề tính trực tiếp giá trị lượng giác $ \ cot USD của một góc được .
Vậy nên tất cả chúng ta sẽ tính gián tiếp trải qua hàm $ \ cos USD và $ \ sin USD ; hàm $ \ tan USD

• Cách 1. $\frac{\cos(\square)}{\sin(\square)}$
• Cách 2. $\frac{1}{tan(\square)}$
• Cách 3. $\tan(\square)^{-1}$

Ví dụ 6. Tính giá trị lượng giác $\cot$ của góc $60^o$

Cách 1. $\frac{\cos(60)}{\sin(60)}$

Cách 2. $\frac{1}{tan(60)}$

Cách 3. $\tan(60)^{-1}$

VI. Lời kết

Như vậy là các bạn có thể thấy, công thức tổng quát nhất để tính diện tích của đa giác đều chính là công thức $\frac{1}{2} \cdot n \cdot a \cdot d$

Nếu giả thuyết cho độ dài trung đoạn thì bạn chỉ việc vận dụng công thức, nếu không cho thì các bạn cần phải tìm độ dài trung đoạn trước .
Ngoài ra chúng tôi có một số ít gợi ý nhỏ muốn gửi đến các bạn :

• Nếu là đa giác đều đặc biệt thì nên áp dụng công thức đặc biệt.
• Bạn có thể chứng minh diện tích tam giác đều cạnh và độ dài một cạnh của hình vuông bằng cách dựa vào định lý Pytago.

Hy vọng bài viết này sẽ hữu dụng với các bạn.

Source: https://vinatrade.vn
Category : Công thức cần nhớ