Tập hợp Mandelbrot, đặt tên theo người đã khám phá ra nó, là một ví dụ nổi tiếng về fractal
Mandelbrot năm 2007
Xây dựng một bông tuyết Koch cơ bản từ tam giác đều
Fractal[1], hay phân dạng[2] là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy. Từ fractal được nói đến lần đầu vào năm 1975 bởi Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là “đứt gãy”. Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là “đường cong quỷ”.
Fractal ban đầu được nghiên cứu như một vật thể toán học. Hình học fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ngành này có ứng dụng trong khoa học, công nghệ, và nghệ thuật tạo từ máy tính. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.
Bạn đang đọc: Fractal – Wikipedia tiếng Việt
Việc định nghĩa những đặc tính của fractal, có vẻ như thuận tiện với trực quan, lại cực kỳ khó với yên cầu đúng chuẩn và cô đọng của toán học .Mandelbrot đã định nghĩa fractal là ” một tập hợp mà trong đó số chiều Hausdorff ( hay chiều Hausdorff-Besicovitch ) lớn hơn chiều tô pô học “. Số chiều Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo size của fractal, thường không phải là một số tự nhiên. Một hình vẽ fractal trên tờ giấy 2 chiều hoàn toàn có thể khởi đầu có những đặc thù của vật thể trong khoảng trống 3 chiều, và hoàn toàn có thể có chiều Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một fractal trọn vẹn tự đồng dạng, chiều Hausdorff sẽ đúng bằng chiều Minkowski-Bouligand .Các yếu tố tương quan đến định nghĩa fractal gồm :
- Không có ý nghĩa chính xác của “gấp khúc”.
- Không có định nghĩa duy nhất của “chiều”.
- Có nhiều cách mà một vật thể có thể tự đồng dạng.
- Không phải tất cả mọi fractal đều tìm được bằng phép đệ quy.
Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu các hình tự đồng dạng tự thế kỷ 17, khi Gottfried Leibniz xem xét các đường gấp khúc và định nghĩa đường thằng là đường fractal chuẩn: “các đường thẳng là đường cong, bất kỳ phần nào của nó cũng tương tự với toàn bộ”.
Năm 1872, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đưa ra quy mô về một hàm liên tục nhưng không đâu khả vi
Bông tuyết Koch
Năm 1904, nhà toán học Thụy Điển Helge von Koch trong một bài “Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire” đã nghiên cứu các tính chất của fractal tạo thành bắt đầu từ các đa giác đơn lồi phẳng, mà cụ thể là tam giác, có hình dạng na ná rìa của các bông tuyết và được gọi là bông tuyết Koch (Koch snowflake)
Tập hợp Mandelbrot[sửa|sửa mã nguồn]
tập Mandelbrot (trên mặt phẳng phức) trong dãy phóng đại với môi trường được tô màu liên tục (các điểm màu đen thuộc về tập này).Hình ảnh tiên phong của ( trên mặt phẳng phức ) trong dãy phóng đại với thiên nhiên và môi trường được tô màu liên tục ( những điểm màu đen thuộc về tập này ) .
Tập Mandelbrot là một tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức, với biên của nó có dạng fractal. Tập Mandelbrot là tập các giá trị của số phức c với quỹ đạo bắt đầu từ 0 dưới phép lặp của đa thức bậc hai hệ số phức zn+1 = zn2 + c vẫn bị chặn (đóng trong biên).[3] Có nghĩa là, một số phức c thuộc về tập Mandelbrot, khi bắt đầu với z0 = 0 và áp dụng phép lặp lại, thì giá trị tuyệt đối của zn không bao giờ vượt quá một số xác định (số này phụ thuộc vào c) cho dù n lớn như thế nào. Tập Mandelbrot được đặt tên theo nhà toán học Benoît Mandelbrot, người đầu tiên đã nghiên cứu và phát triển nó.
Ví dụ, lấy c = 1 thì khi áp dụng chuỗi lặp ta thu được dãy số 0, 1, 2, 5, 26,…, và dãy này tiến tới vô cùng. Hay dãy này không bị chặn, và do vậy 1 không phải là phần tử của tập Mandelbrot.
Ví dụ khác, lấy c = i (trong đó i được định nghĩa là i2 = −1) sẽ cho dãy 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i,…, và dãy này bị chặn nên i thuộc về tập Mandelbrot.
Khi thống kê giám sát và vẽ trên mặt phẳng phức, tập Mandelbrot có hình dạng ở biên giống như một fractal, nó có đặc thù tự đồng dạng khi phóng đại tại bất kể vị trí nào trên biên của tập hợp .Tập Mandelbrot đã trở thành thông dụng ở cả bên ngoài toán học, từ vẻ đẹp thẩm mỹ và nghệ thuật cho tới cấu trúc phức tạp được xuất phát từ định nghĩa đơn thuần, và nó cũng là một trong những ví dụ nổi tiếng của đồ họa toán học. Nhiều nhà toán học, gồm có Mandelbrot, đã phổ cập nghành toán học này ra công chúng. Đây là một trong những tập hợp fractal nổi tiếng nhất .
Fractal tạo từ hình toán học[sửa|sửa mã nguồn]
Một fractal Mandelbrot zn+1 = zn2 + c
Fractal trông giống bông hoa
Một fractal của tập hợp Julia
Một fractal Mandelbrot khác
Vật thể tự nhiên có cấu trúc fractal[sửa|sửa mã nguồn]
Kéo hai tấm nhựa trong suốt có dính keo ra khỏi nhau, ta có được một cấu trúc fractal .
Phóng điện cao thế trong một khối nhựa trong suốt, ta thu được hình Lichtenberg có cấu trúc fractal .
Các vết nứt có cấu trúc fractal trên mặt phẳng đĩa DVD, sau khi đưa đĩa này vào lò vi sóng
Súp lơ xanh Romanesco có những cấu trúc fractal tự nhiên
Hình học Fractal có nhiều ứng dụng trong đời sống và mở ra nhiều hướng nghiên cứu và điều tra mới trong nhiều nghành nghề dịch vụ như sinh học, y học, thiên văn, kinh tế tài chính, công nghệ thông tin …
Khoa học máy tính[sửa|sửa mã nguồn]
Hình học Fractal hoàn toàn có thể giúp phong cách thiết kế những hình ảnh đẹp trên máy tính một cách đơn thuần và trực quan. Đây là một trong những nghành được nhiều người chăm sóc, nhất là so với những người thương mến thẩm mỹ và nghệ thuật. Cơ sở hình học Fractal cũng đã được ứng dụng trong công nghệ tiên tiến nén ảnh một cách hiệu suất cao trải qua những hệ hàm lặp ( IFS ), đây là một trong những nghành được những chuyên viên về khoa học máy tính đặc biệt quan trọng chăm sóc .Phương pháp nén fractal là một chiêu thức nén tài liệu có mất mát thông tin cho ảnh số dựa trên fractal. Phương pháp này thích hợp nhất cho những ảnh tự nhiên dựa vào đặc thù những phần của một bức ảnh thường giống với những phần khác của chính bức ảnh đó. Thuật toán fractal chuyển những phần này thành tài liệu toán học được gọi là ” mã fractal ” và mã này được dùng để tái tạo lại bức ảnh đã được mã hóa. Đại diện của ảnh fractal được diễn đạt một cách toán học như thể mạng lưới hệ thống những hàm lặp ( IFS ) .Như đã biết, với một ánh xạ co trên một khoảng trống metric vừa đủ, luôn sống sót một điểm bất động. Mở rộng tác dụng này cho một họ những ánh xạ co, người ta chứng tỏ được với một họ ánh xạ như vậy luôn sống sót một điểm bất động. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên những hiệu quả thu được của mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng giao động đúng mực giá trị của điểm bất động. Do đó nếu ta coi ảnh cần nén là ” điểm bất động ” của một họ những ánh xạ co thì mỗi ảnh ta chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này sẽ làm giảm đi rất nhiều dung tích cần có để tàng trữ thông tin ảnh .
Y học và sinh học[sửa|sửa mã nguồn]
Các nhà khoa học đã tìm ra những mối quan hệ giữa fractal với hình thù của tế bào, quy trình trao đổi chất của khung hình người, AND, nhịp tim, … Trước đây, những nhà sinh học quan niệm lượng chất trao đổi nhờ vào vào khối lượng khung hình người, nghĩa là nó tỉ lệ bậc 3 khi xem xét con người là một đối tượng người dùng 3 chiều. Nhưng với góc nhìn từ hình học fractal, người ta cho rằng sẽ đúng chuẩn hơn nếu xem con người là một mặt fractal với số chiều xê dịch 2.5, như vậy tỉ lệ đó không nguyên nữa mà là 1 số ít hữu tỷ. Việc chẩn đoán bệnh vận dụng hình học fractal đã có những văn minh rõ ràng. Bằng cách quan sát hình dạng của những tế bào theo quan điểm fractal, người ta đã tìm ra những bệnh lý của con người, tuy nhiên những nghành này vẫn còn mới lạ, cần phải được liên tục điều tra và nghiên cứu .
Hình học Fractal được sử dụng trong việc khảo sát những hợp chất cao phân tử. Tính phong phú về cấu trúc polymer biểu lộ sự phong phú và đa dạng về những đặc tính của hợp chất cao phân tử chính là những fractal. Hình dạng vô định hình, đường bẻ gãy, chuỗi, sự tiếp xúc của mặt phẳng polyme với không khí … đều có tương quan đến những fractal. Sự hoạt động của những phân tử, nguyên tử trong hợp chất, dung dịch, những quy trình tương tác gần giữa những chất với nhau, … đều hoàn toàn có thể xem như một hệ động lực hỗn độn ( chaos ) .
Trong vật lý, khi điều tra và nghiên cứu những hệ cơ học có nguồn năng lượng tiêu tốn ( ví dụ điển hình như có lực ma sát ) người ta cũng nhận thấy trạng thái của những hệ đó khó xác lập trước được và hình ảnh hình học của chúng là những đối tượng người tiêu dùng fractal .
Thiên văn học[sửa|sửa mã nguồn]
Các nhà khoa học đã thực thi xem xét lại những quỹ đạo của những hành tinh trong hệ mặt trời cung như trong những hệ thiên hà khác. Một số tác dụng cho thấy không phải những hành tinh này quay theo một quỹ đạo Ellipse như trong hình học Euclide mà nó hoạt động theo những đường fractal. Quỹ đạo của nó được mô phỏng bằng những quỹ đạo trong những tập hút ” lạ ” .
Mô tả sự biến động của giá cả trên thị trường chứng khoán bằng các đồ hình fractal sẽ cho phép chúng ta theo dõi sự biến động của giá cả. Trên cơ sở đó dự báo giá cả trên thị trường dựa theo các luật của hình học fractal.
Xem thêm: Rửa tiền – Wikipedia tiếng Việt
- Fractal compression http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_compression
Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]
Bản mẫu : Lý thuyết hỗn loạn
Source: https://vinatrade.vn
Category : Kiến thức cơ bản